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【考点】期权估值原理

一、复制原理

基本思想：构造一个股票和借款的适当组合，使得无论股价如何变动，投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。

【例7-10】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元。到期时间是6个月。6个月后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低25%。无风险报酬率为每年4%。构建一个投资组合，使六个月后的价值与购进该看涨期权相等。

购买0.5股股票，然后以2%的利息借入18.38元

组合投资成本=购买股票支出-借款=50×0.5-18.38=6.62(元)

该看涨期权的价值即为6.62元。

二、套期保值原理

把购买股票的数量的比率称为套期保值比率(H)

H= (14.58-0)/[50×(1.3333-0.75)] =0.5

购买股票的支出=50×0.5=25(元)

借款=(到期日下行股价×套期保值比率-股价下行时期权到期日价值)÷(1+r)

=(37.5×0.5-0)÷(1+4%/2)=18.38(元)

组合投资成本=看涨期权价值

=购买股票支出-借款=50×0.5-18.38=6.62(元)

【步骤】

1.确定可能的到期日股票价格;

2.计算确定股价上行时期权到期日价值，与股价上行时期权到期日价值

3.计算套期保值比率H

4.计算投资组合的成本(期权价值)

【例题·计算分析题】假设甲公司股票现在的市价为10元，有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为12元，到期时间是9个月。9个月后股价有两种可能：上升25%或者降低20%，无风险报酬率为每年6%。现在打算购进适量的股票以及借入必要的款项建立一个投资组合，使得该组合9个月后的价值与购进该看涨期权相等。

要求：(1)确定可能的到期日股票价格; (2)根据执行价格计算确定到期日期权价值; (3)计算套期保值率;计算购进股票的数量和借款数额;(5)计算期权的价值。

【答案】(1)确定可能的到期日股票价格;

上行股价=10×(1+25%)=12.5(元)

下行股价=10×(1-20%)=8(元)

(2)根据执行价格计算确定到期日期权价值;

股价上行时期权到期日价值 =上行股价-执行价格=12.5-12=0.5(元)

股价下行时期权到期日价值=0

(3)计算套期保值率;

套期保值比率=期权价值变化/股价变化

=(0.5-0)/(12.5-8)=0.11

(4)计算购进股票的数量，借款数额和期权价值。

购进股票的数量=套期保值比率=0.11(股)

借款数额=(到期日下行股价×套期保值率)/(1+6%×9/12)

=(8×0.11)/(1+4.5%) =0.84(元)

(5)计算期权的价值。

期权价值=购买股票支出-借款

=10×0.11-0.84=0.26(元)

三、风险中性原理

基本思想：假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险报酬率。风险中性的投资者不需要额外的收益补偿其承担的风险。在风险中性的世界里，将期望值用无风险报酬率折现，可以获得现金流量的现值。

期望报酬率=无风险报酬率

=(上行概率×上行时报酬率)+(下行概率×下行时报酬率)

=上行概率×股价上升百分比+下行概率×(-股价下降百分比)

【例7-10】股票现在市价为50元。看涨期权执行价格为52.08元，到期时间是6个月。到期后股价上升33.33%，或者降低25%。无风险报酬率为每年4%。

期望报酬率=无风险报酬率

=上行概率×股价上升百分比+下行概率×(-股价下降百分比)

4%/2=上行概率×33.33%+下行概率×(-25%)

4%/2=上行概率×33.33%+(1-上行概率)×(-25%)

上行概率=0.4629;下行概率=1- 0.4629=0.5371。

期权6个月后的期望价值

= 0.4629×14.58+0.5371×0=6.75(元)

期权价值=6.75/(1+2%)=6.62(元)

【例题·计算分析题】假设A公司目前的股票价格为20元/股，有1股以该股票为标的资产的看涨期权，到期时间为6个月，执行价格为24元， 6个月内公司不派发股利，预计半年后股价有两种可能，上升30%或者下降23%，半年的无风险报酬率为4%。

要求：(1)用复制原理计算该看涨期权的价值;

(2)用风险中性原理计算该看涨期权的价值;

(3)如果该看涨期权的现行价格为2.5元，请根据套利原理，构建一个投资组合进行套利。

【答案】(1)用复制原理计算该看涨期权的价值;

上行股价=20×(1+30%)=26(元)

下行股价=20×(1-23%)=15.4(元)

套期保值比率H=[(26-24)-0]/(26-15.4)=0.1887

借款数额=(0.1887×15.4-0)/(1+4%)=2.7942(元)

购买股票支出=0.1887×20=3.774(元)

期权价值=3.774-2.7942=0.98(元)

(2)用风险中性原理计算该看涨期权的价值;

4%=上行概率×30%+(1-上行概率)×(-23%)

求得：上行概率=0.5094

下行概率=1-0.5094=0.4906

期权到期时价值

=0.5094×(26-24)+0.4906×0

=1.0188(元)

期权价值=1.0188/(1+4%)=0.98(元)

(3)如果该看涨期权的现行价格为2.5元，请根据套利原理，构建一个投资组合进行套利。

由于期权价格高于期权价值，因此，套利过程如下：买入0.1887股股票，借入款项2.7942元，同时卖出1股看涨期权，收到2.5元。结果获利=2.5+2.7942-0.1887×20=1.52(元)。

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